Kužeľosečky v konečných poliach

Ako je už z názvu možné predpokladať, kužeľosečky sú rovinné krivky, ktoré je možné získať prienikom kužeľovej plochy s rovinou $\rho$. Kužeľovú plochu získame rotáciou rôznobežky $p$ okolo rôznobežky $o$ v trojrozmernom priestore, pričom platí, že tieto priamky majú priesečník v bode $P$ a zvierajú uhol $\alpha \in (0, \frac{\pi}{2})$.

Kužeľosečky, ktoré vzniknú prienikom kužeľovej plochy s rovinou, je možné rozdeliť na dva typy:

• singulárne kužeľosečky - vznikajú prienikom kužeľovej plochy rovinou, ktorá prechádza jej vrcholom. Medzi tento typ kužeľosečiek patria rovnobežky, rôznobežky a bod
• regulárne kužeľosečky - vznikajú prienikom kužeľovej plochy rovinou, ktorá neprechádza jej vrcholom. Medzi tento typ kužeľosečiek patrí kružnica, elipsa, parabola a hyperbola.

Nech $\beta \in [0, \frac{\pi}{2}]$ je uhol, ktorý zviera rovina $\rho$ s priamkou $o$ a rovina $\rho$ neprechádza vrcholom kužeľovej plochy, potom:

• ak $\beta = \frac{\pi}{2}$, prienikom je kružnica.
• ak $\beta = (\alpha, \frac{\pi}{2})$, prienikom je elipsa.
• ak $\beta = \alpha$, prienikom je parabola.
• ak $\beta \in [0, \alpha)$, prienikom je hyperbola.

Kužeľosečky sú definované všeobecnou rovnicou, pomocou ktorej a za určitých podmienok dokážeme odvodiť stredové, prípadne vrcholové rovnice pre kužeľosečky.

Pre zobrazenie kužeľosečiek je potrebné, aby počet prvkov konečného poľa bol väčší ako 2, čiže $p > 2$.

Legendrov symbol $(\frac{a}{p})$:

$\begin{equation*} (\frac{a}{p}) = \begin{cases} -1 & \text{ak $a$ je kvadratický nezvyšok}, \\ \hspace{2mm} \ 0 & \text{ak $a \equiv 0$ $(mod$ $p)$}, \\ \hspace{3.5mm} 1 & \text{ak $a$ je kvadratický zvyšok}. \end{cases} \end{equation*}$

Výpočet bodov

Výpis bodov